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Vers la réalisation de l'ondelette de Haar version lifting

On part des filtres d'analyse et de reconstruction de l'analyse multi-résolution classique par banc de filtres suivant le schéma classique de la Figure 1 :


\begin{displaymath}
\tilde{h}[n]=\frac{1}{\sqrt{2}} [ 1 \ \ \underline{1}]\\ % [ 1 \ \ \underline{1}]\\
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
\tilde{g}[n]=\frac{1}{\sqrt{2}} [ -1 \ \ \underline{1}]\\ % [ -1 \ \ \underline{1}]\\
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
\tilde{h}(z)=\frac{1}{\sqrt{2}} ( 1 + z^{-1})\\
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
\tilde{g}(z)=\frac{1}{\sqrt{2}} ( 1 - z^{-1})\\ % (- 1 + z^{-1}
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
h[n]=\frac{1}{\sqrt{2}} [ \underline{1} \ \ 1]\\ % [ \underline{1} \ \ 1]\\
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
g[n]=\frac{1}{\sqrt{2}} [ \underline{1} \ \ -1]\\ % [ \underline{1} \ \ -1]\\
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
h(z)=\frac{1}{\sqrt{2}} ( 1 + z^{-1})\\
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
g(z)=\frac{1}{\sqrt{2}} ( 1 - z^{-1})\\
\end{displaymath}

Attention aux notations, dans certaines références, on trouve souvent $\tilde{g}(z^{-1})$ et $\tilde{h}(z^{-1})$. Dans les expressions des filtres, le coefficient souligné correspond à l'indice $n=0$.

Les filtres doivent en outre satisfaire les formules suivantes :

\begin{displaymath}
h(z)\tilde{h}(z^{-1})+g(z)\tilde{g}(z^{-1})=2\\
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
h(z)\tilde{h}(-z^{-1})+g(z)\tilde{g}(-z^{-1})=0\\
\end{displaymath}

On a besoin de construire la matrice polyphase3 $\tilde{P}$ (ainsi que sa matrice duale ${P}$), on utilise la formule suivante de décomposition polyphase sur les filtres précédents :

\begin{displaymath}
x(z)=x_e(z^2)+z^{-1}\ x_o(z^2)
\end{displaymath} (1)

$x_e$ désignent les échantillons pairs (even) et $x_o$ les échantillons impairs (odd)4.


\begin{displaymath}
{P}(z)=\left(\begin{array}{cc}
{h_e}(z) & {g_e}(z)\\
{h_o}(z) & {g_o}(z)
\end{array}\right)
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
\tilde{P}(z)=\left(\begin{array}{cc}
\tilde{h_e}(z) & \tilde{h_o}(z)\\
\tilde{g_e}(z) & \tilde{g_o}(z)
\end{array}\right)
\end{displaymath}

Il vient assez facilement :


\begin{displaymath}
\tilde{h}(z)=\stackrel{\underbrace{\tilde{h_e}(z^2)}}{1} + z^{-1}.\ \stackrel{\underbrace{\tilde{h}_o(z^2)}}{1}
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
\tilde{g}(z)=\stackrel{\underbrace{\tilde{g_e}(z^2)}}{1} + z^{-1}.\ \stackrel{\underbrace{\tilde{g}_o(z^2)}}{-1}
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
\tilde{P}(z)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
1 & -1
\end{array}\right)
\end{displaymath}

sachant que det$\tilde{P}=-1$ et que pour det$\tilde{P}=1$ on a les propriétés suivantes :
$\tilde{h}_e(z)=g_o(z^{-1})$
$\tilde{h}_o(z)=-g_e(z^{-1})$
$\tilde{g}_e(z)=-h_o(z^{-1})$
$\tilde{g}_o(z)=h_e(z^{-1})$

Ces proporiétés montrent que pour passer de l'analyse à la synthèse (de $P$ à $\tilde{P}$) il suffit si det$\tilde{P}=1$, de prendre la matrice des cofacteurs en changeant de signe.

de plus sachant que $P(z)\tilde{P}(z^{-1})=I$5


\begin{displaymath}
{P}(z)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
1 & -1
\end{array}\right)
\end{displaymath}


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lepage 2004-08-27