La transformation en ondelettes version lifting est un
processus permettant entre autres d'optimiser le nombre d'opérations à exécuter
et l'occupation mémoire2.
Le processus le plus courant pour obtenir une transformation en
ondelettes est d'utiliser un banc de filtres (cf. Figure 1),
cependant lorsqu'on regarde cette façon de procéder on constate
que l'on effectue un sous-échantillonnage par deux après une
opération de filtrage : on a donc dépenser en pure perte la
moitié du coût de calcul effectué par le filtrage.
L'opération de Lifting en ondelettes peut-être vu comme la transformation réalisée par le banc de filtres, mais en intervertissant les phases de filtrage et de sous-échantillonnage. On limite ainsi le nombre d'opérations a effectuer mais, nous perdons en revanche la propriété d'invariance par translation.
Une autre propriété intéressante est que le schéma de lifting est facilement inversible.
Le schéma de lifting est aussi lié au
processus d'interpolation (non explicitement étudié ici).
On désigne par les coefficients d'ondelettes et par
les coefficients d'échelle.
Pour une ondelette particulière (i.e. un couple de filtres
(,
,
,
pour
l'implémentation par banc de filtres), caractérisé en outre
par disons
moments nuls (jouant un rôle dans le processus de
décroissance des coefficients d'ondelettes à travers les résolutions) pour le filtre primaire et
moments nuls pour le filtre dual, le schéma d'implantation
par lifting permet d'obtenir facilement des ondelettes de moments
et
plus élevé. On a donc lifté
(i.e.élevé) l'ordre de cette ondelette par ce schéma (d'où la
justification du nom lifting).
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On utilise : les ondelettes paresseuses (lazy wavelets) qui
servent à séparer un vecteur en composantes paires et impaires,
ainsi qu'une matrice polyphase qui permet de travailler
sélectivement sur les composantes paires ou impaires du signal. On
va factoriser la matrice polyphase et introduire alors deux opérations : une opération de
prédiction (Predict) qui prédit les échantillons de rang
pair à partir des échantillons de rang impair; une opération de
mise-à-jour (Update) qui permet de conserver sur une
partie du signal la valeur moyenne de l'ensemble du signal.
Le formalisme utilisé est celui des articles de références [Sweldens, Valens]. (Attention cependant aux écarts de notations entre les différents articles).
Cette transformation va en outre permettre de réaliser une transformation sur des entiers qui donne des entiers. Cependant il faudra utiliser une étape supplémentaire utilisant le lifting pour la mise à l'échelle.