Vers la réalisation de l'ondelette de Haar version lifting

On part des filtres d'analyse et de reconstruction de l'analyse multi-résolution classique par banc de filtres suivant le schéma classique de la Figure 1 :

$$\tilde{h}[n]=\frac{1}{\sqrt{2}} [ 1 \ \ \underline{1}]\\ % [ 1 \ \ \underline{1}]\\$$

$$\tilde{g}[n]=\frac{1}{\sqrt{2}} [ -1 \ \ \underline{1}]\\ % [ -1 \ \ \underline{1}]\\$$

$$\tilde{h}(z)=\frac{1}{\sqrt{2}} ( 1 + z^{-1})\\$$

$$\tilde{g}(z)=\frac{1}{\sqrt{2}} ( 1 - z^{-1})\\ % (- 1 + z^{-1}$$

$$h[n]=\frac{1}{\sqrt{2}} [ \underline{1} \ \ 1]\\ % [ \underline{1} \ \ 1]\\$$

$$g[n]=\frac{1}{\sqrt{2}} [ \underline{1} \ \ -1]\\ % [ \underline{1} \ \ -1]\\$$

$$h(z)=\frac{1}{\sqrt{2}} ( 1 + z^{-1})\\$$

$$g(z)=\frac{1}{\sqrt{2}} ( 1 - z^{-1})\\$$

Attention aux notations, dans certaines références, on trouve souvent $\tilde{g}(z^{-1})$ et $\tilde{h}(z^{-1})$. Dans les expressions des filtres, le coefficient souligné correspond à l'indice $n=0$.

Les filtres doivent en outre satisfaire les formules suivantes :

$$h(z)\tilde{h}(z^{-1})+g(z)\tilde{g}(z^{-1})=2\\$$

$$h(z)\tilde{h}(-z^{-1})+g(z)\tilde{g}(-z^{-1})=0\\$$

On a besoin de construire la matrice polyphase³ $\tilde{P}$ (ainsi que sa matrice duale ${P}$), on utilise la formule suivante de décomposition polyphase sur les filtres précédents :

$$x(z)=x_e(z^2)+z^{-1}\ x_o(z^2)$$ (1)

où $x_e$ désignent les échantillons pairs (even) et $x_o$ les échantillons impairs (odd)⁴.

$${P}(z)=\left(\begin{array}{cc} {h_e}(z) & {g_e}(z)\\ {h_o}(z) & {g_o}(z) \end{array}\right)$$

$$\tilde{P}(z)=\left(\begin{array}{cc} \tilde{h_e}(z) & \tilde{h_o}(z)\\ \tilde{g_e}(z) & \tilde{g_o}(z) \end{array}\right)$$

Il vient assez facilement :

$$\tilde{h}(z)=\stackrel{\underbrace{\tilde{h_e}(z^2)}}{1} + z^{-1}.\ \stackrel{\underbrace{\tilde{h}_o(z^2)}}{1}$$

$$\tilde{g}(z)=\stackrel{\underbrace{\tilde{g_e}(z^2)}}{1} + z^{-1}.\ \stackrel{\underbrace{\tilde{g}_o(z^2)}}{-1}$$

$$\tilde{P}(z)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{array}\right)$$

sachant que det$\tilde{P}=-1$ et que pour det$\tilde{P}=1$ on a les propriétés suivantes :
$\tilde{h}_e(z)=g_o(z^{-1})$
$\tilde{h}_o(z)=-g_e(z^{-1})$
$\tilde{g}_e(z)=-h_o(z^{-1})$
$\tilde{g}_o(z)=h_e(z^{-1})$

Ces proporiétés montrent que pour passer de l'analyse à la synthèse (de $P$ à $\tilde{P}$) il suffit si det$\tilde{P}=1$, de prendre la matrice des cofacteurs en changeant de signe.

de plus sachant que $P(z)\tilde{P}(z^{-1})=I$⁵

$${P}(z)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{array}\right)$$

Figure 1: Schéma d'une implémentation en banc de filtres d'une transformation en ondelettes : le signal original $X$ passe par les deux filtres complémentaires $\tilde{h}$ (passe-bas) et $\tilde{g}$ (passe-haut) en sortie on peut sous-échantillonner par 2 ($\downarrow2$), on obtient alors respectivement des coefficients d'ondelettes $\gamma$ et des coefficients d'échelle $\lambda$. La reconstruction du signal s'effectue par sur-échantillonnage par insertion de zéros ($\uparrow2$) et passage par les filtres de synthèse $h$ et $g$ puis par addition pour obtenir le signal $Y$.