Transformée en ondelettes version lifting

La transformation en ondelettes version lifting est un processus permettant entre autres d'optimiser le nombre d'opérations à exécuter et l'occupation mémoire².
Cette transformation peut-être vue comme la transformation réalisée par un banc de filtres, mais en intervertissant les phases de filtrage et de sous-échantillonnage. De fait, nous n'avons plus les propriétés d'invariance par translation (évacuée par le sous-échantillonnage).

Une autre propriété intéressante est que le schéma de lifting est facilement inversible.

s'implémente bien de façon matricielle, ce qui n'a que des avantages lorsque l'on utilise Scilab ou Matlab, de plus elle est facilement inversible.

Le schéma de lifting est aussi lié au processus d'interpolation (non explicitement étudié ici).

On désigne par $\gamma$ les coefficients d'ondelettes et par $\lambda$ les coefficients d'échelle.

Pour une ondelette particulière (i.e. un couple de filtres ($h$,$g$,$\tilde{h}$, $\tilde{g}$ pour l'implémentation par banc de filtres), caractérisé en outre par disons $n$ moments nuls (jouant un rôle dans le processus de décroissance des coefficients d'ondelettes à travers les résolutions) pour le filtre primaire et $\tilde{n}$ moments nuls pour le filtre dual, le schéma d'implantation par lifting permet d'obtenir facilement des ondelettes de moments $n$ et $\tilde{n}$ plus élevé. On a donc lifté (i.e.élevé) l'ordre de cette ondelette par ce schéma (d'où la justification du nom lifting).

On utilise : les ondelettes paresseuses (lazy wavelets) qui servent à séparer un vecteur en composantes paires et impaires, ainsi qu'une matrice polyphase qui permet de travailler sélectivement sur les composantes paires ou impaires du signal. On va factoriser la matrice polyphase et introduire alors deux opérations : une opération de prédiction (Predict) qui prédit les échantillons de rang pair à partir des échantillons de rang impair; une opération de mise-à-jour (Update) qui permet de conserver sur une partie du signal la valeur moyenne de l'ensemble du signal.

Le formalisme utilisé est celui des articles de références [Sweldens, Valens].

Cette transformation va en outre permettre de réaliser une transformation sur des entiers qui donne des entiers. Cependant il faudra utiliser une étape supplémentaire utilisant le lifting pour la mise à l'échelle.