Lifting primaire

On désire réécrire $\tilde{P}(z)$ sous la forme :

$$\tilde{P}(z)=\left( \begin{array}{cc} \tilde{h}_e^{new}(z) &... ...t) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ -1 & 1 \end{array}\right)$$

Par identification, il vient :

$$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\sqrt{2}} & = &\tilde{h_e}^{new}(z) \\ 0 & = &\til... ... -\frac{1}{\sqrt{2}} & = &0.\ \tilde{s}(z)+\tilde{g_o}^{new}(z) \end{eqnarray*}$$

on prend :

$$\tilde{s}(z)=\frac{1}{2}$$

et

$$\tilde{h}_o^{new}(z)=0$$

et

$$\tilde{g}_o^{new}(z)=-\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Alors

$$\tilde{P}(z)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{array}{cc} 2 & ... ...)\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{array}\right)$$

et

$${P}(z)=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}... ...\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & 0\\ 0 & -1 \end{array}\right)$$

Ces opérations purement matricielles s'implémentent très facilement sous Scilab ou Matlab.

On peut de façon plus condensée (que l'écriture matricielle) écrire le pseudo code pour l'algorithme de calcul in place, $x_e$ et $x_o$ représente les coefficients pairs et impairs du signal (respectivement), $d$ représente les détails (i.e. les coefficients issu du filtrage passe haut, donc les coefficients d'ondelettes), $s$ représente le signal grossier (smooth) issu du fitlrage passe-bas et donc les coefficients d'échelle.

$$\begin{array}{l} d=x_o-x_e;\\ s=x_o+d/2;\\ s=2/\sqrt{2}*s;\\ d=-1/\sqrt{2}*d; \end{array}$$

Pour le passage à une résolution supérieure on prend le code précédent que l'on réinitialise en commençant par :

$$\begin{array}{l} x_o=s(1:2:length(s));\\ x_e=s(2:2:length(s));\\ \end{array}$$

La reconstruction se fait en inversant l'ordre des opérations (et leurs signes, sauf pour la normalisation ou on prend l'inverse).

$$\begin{array}{l} d=-\sqrt{2}*d;\\ s=\sqrt{2}*s;\\ x_o=s-d/2;\\ x_e=x_o-d; \end{array}$$