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Transformation en ondelettes qui transforme des entiers en entiers

Obtenir des coefficients d'ondelettes entiers peut-être un atout lorsque :

Lors d'une étape de lifting que l'on a étudié on a utilisé une relation de ce type :

\begin{displaymath}
x_{new}(z) \longleftarrow x(z)+s(z)\ y(z)
\end{displaymath}

Puisque le signal $y(z)$ n'est pas modifié par cette étape de lifting alors on peut arrondir et réécrire l'étape du lifting.


\begin{displaymath}
x_{new}(z) \longleftarrow x(z)+ \lfloor s(z)\ y(z) \rfloor
\end{displaymath}

$\lfloor . \rfloor$ note une opération d'arrondi.

Ce qui est très fort, c'est que, quelque soit l'opération d'arrondi utilisée, la transformation est inversible :


\begin{displaymath}
x(z) \longleftarrow x_{new}(z) - \lfloor s(z)\ y(z) \rfloor
\end{displaymath}

Il y a cependant une précaution à prendre qui concerne la mise à l'échelle (scaling), dans le cas où ces coefficents ne sont pas entiers. La solution dans ce cas consiste à transformer cette mise à l'échelle en 3 étapes supplémentaires de lifting suivant le modèle :


\begin{displaymath}
P(z)=\left(\begin{array}{cc}
K & 0\\
0 & \frac{1}{K}
\end{a...
...ht)
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 1\\
1 & 0
\end{array}\right)
\end{displaymath}

ou


\begin{displaymath}
P(z)=\left(\begin{array}{cc}
K & 0\\
0 & \frac{1}{K}
\end{a...
...{cc}
1 & \frac{1}{K^2}-\frac{1}{K}\\
0 & 1
\end{array}\right)
\end{displaymath}

On rappelle :


\begin{displaymath}
\tilde{P}(z)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(
\begin{array}{cc}
2 & ...
...)\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
-1 & 1
\end{array}\right)
\end{displaymath}

Pour notre ondelette de Haar, on a un signe différent dans la matrice de normalisation, il suffit juste d'adapter les expressions précédentes avec par exemple pour la première (attention cependant lors de l'inversion):


\begin{displaymath}
P(z)=\left(\begin{array}{cc}
K & 0\\
0 & -\frac{1}{K}
\end{...
...ht)
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 1\\
1 & 0
\end{array}\right)
\end{displaymath}

avec $K=\sqrt{2}$



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lepage 2004-08-27