Factorisation des filtres

La démarche ici est en quelque sorte la démarche inverse afin de pouvoir passer de forme connue de pairs de filtres d'ondelettes à leur implémentation en terme de lifting d'ondelettes.

on peut réécrire

$$\tilde{g}_{new}(z)=\tilde{g}(z)+\tilde{h}(z)\tilde{t}(z^2)$$

en

$$\tilde{g}(z)=\tilde{h}(z) \ \tilde{t}(z^2) +\tilde{g}_{new}(z)$$

qui est une forme de division avec reste⁷ où $\tilde{g}_{new}$ est le reste. Alors :

$$\tilde{P}(z)=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ \tilde{t}(z) & 1 \end{array} \right) \tilde{P}_{new}(z)$$

En itérant cet exemple, on peut arriver à obtenir une matrice polyphase qui est de la forme :

$$P(z)=\left(\begin{array}{cc} K_1 & 0 \\ 0 & K_2 \end{arr... ...ft(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ t_i(z) & 1 \end{array}\right)$$

où $K_1$ et $K_2$ sont deux constantes (différentes de zéro) que l'on peut éventuellement factoriser en quatre étapes de lifting.

Figure 2: Lifting : chaque voie (sous-bande) est modifié par l'autre