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Factorisation des filtres

La démarche ici est en quelque sorte la démarche inverse afin de pouvoir passer de forme connue de pairs de filtres d'ondelettes à leur implémentation en terme de lifting d'ondelettes.

on peut réécrire

\begin{displaymath}
\tilde{g}_{new}(z)=\tilde{g}(z)+\tilde{h}(z)\tilde{t}(z^2)
\end{displaymath}

en

\begin{displaymath}
\tilde{g}(z)=\tilde{h}(z) \ \tilde{t}(z^2) +\tilde{g}_{new}(z)
\end{displaymath}

qui est une forme de division avec reste7 $\tilde{g}_{new}$ est le reste. Alors :


\begin{displaymath}
\tilde{P}(z)=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
\tilde{t}(z) & 1
\end{array}
\right) \tilde{P}_{new}(z)
\end{displaymath}

En itérant cet exemple, on peut arriver à obtenir une matrice polyphase qui est de la forme :

\begin{displaymath}
P(z)=\left(\begin{array}{cc}
K_1 & 0 \\
0 & K_2
\end{arr...
...ft(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
t_i(z) & 1
\end{array}\right)
\end{displaymath}

$K_1$ et $K_2$ sont deux constantes (différentes de zéro) que l'on peut éventuellement factoriser en quatre étapes de lifting.

Figure 2: Lifting : chaque voie (sous-bande) est modifié par l'autre
\begin{figure}\centerline{%
\input{lift3.pstex_t}}\end{figure}



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